Aloha :)
Die kritischen Stellen der Funktion \(\pink{f(x)=\tan(x)-2x}\) sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Für \(x\in(0|\frac\pi2)\) heißt das:$$\small 0\stackrel!=f'(x)=\left(\frac{\sin x}{\cos x}-2x\right)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}-2=1+\tan^2(x)-2=\tan^2(x)-1$$$$\small\implies\tan^2(x)=1\stackrel{x\in(0|\frac\pi2)}{\implies} x=\frac\pi4$$
Wir prüfen, ob bei dem Kandidaten tatsächlich ein lokales Minimum vorliegt:
$$f''(x)=\left(\tan^2x-1\right)'=\left(\tan^2x\right)'=\underbrace{2\tan x}_{\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{(1+\tan^2x)}_{\text{innere A.}}$$$$\implies f''(\pi/4)=2\cdot1\cdot(1+1^2)=4>0\quad\checkmark$$
An genau einer Stelle, bei \(x_0=\frac\pi4\), erreicht \(f(x)\) im Intervall \((0\big|\frac\pi2)\) ein lokales Minimum.
~plot~ (tan(x)-2x) ; [[0|1,8|-1|1]] ; {pi/4|1-pi/2} ~plot~
