Begründen Sie, dass f in (0,0)T kein lokales Extremum besitzt.

Question

Hallo liebes Forum, ich habe folgendes Problem.

Sei f : ℝ² → ℝ gegeben durch f(x,y) = x² - 3xy² +y⁴

Begründen Sie, dass f in (0,0)^T kein lokales Extremum besitzt.

Also leider komme ich einfach nich darauf.

Ich habe bereits die partiellen Ableitungen berechnet und auch die Hessematrix hierfür aufgestellt, indem ich fx und fy = 0 gesetzt habe, hierfür habe ich nur x = 0 und y = 0, als Punkt erhalten (0,0):

fx = 2x-3y²

fy = 4y³-6xy

fxx = 2

fyy = 12y²-6x

fxy = fyx = -6y

Also für die Matrix im Punkt (0,0) habe ich dann die Matrix \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) erhalten und für deren Eigenwerte dann λ1 = 0 und  λ2 = 2 und das ist glaube semi positiv definit und somit ein lokales minimum und damit kein beweis zur aufgabenstellung. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Aloha :)

Wenn die Hesse-Matrix semi-definit ist, egal ob positiv oder negativ, kannst du mit ihrer Hilfe keine Aussage über die Art des Extremums treffen. Daher führt der von dir gewählte Weg nicht zum Ziel. Betrachte stattdessen:$$f(x;y)=x^2-3xy^4+y^4=(x^2-2xy^2+y^4)-xy^2=\underbrace{(x-y^2)^2}_{\ge0}-x\cdot\underbrace{y^2}_{\ge0}$$

Beim \(x\)-Nulldruchgang \((0|y)\) wird für \(x<0\) etwas addiert, denn \((-xy^2>0)\), und für \(x>0\) etwas subtrahiert, denn \((-xy^2<0)\). Daher liegt bei \((0|0)\) kein Extremum vor.

Answer 2

Begründen Sie, dass f in (0,0)^T kein lokales Extremum besitzt.

Die Funktion \(g(x) \coloneqq f(x,x)\) hat bei \(0\) kein lokales Extremum.

Eigenwerte dann λ1 = 0 und λ2 = 2 und das ist glaube semi positiv definit

Daraus zu schlussfolgern, es liege ein lokales Minimum vor, ist der Fehler.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort.

Ich verstehe nur leider nicht ganz, kannst du mir mehr zeigen?^^