Beweisen Sie, dass f genau ein lokales Extremum hat.

Question

Hallo Loungianer 

Beweisen Sie, dass f:(0, oo)->IR, f(x) = ln(x)/x genau ein lokales Extremum hat.

Mein Versuch: Ich bilde f' und bekomme f'(x) = (1 - ln(x)) / x^2 mit x = e als Extremum. Wie zeige ich aber dass es nicht mehr gibt?

Danke schön im Voraus

Answer 1

f ( x ) = ln ( x ) / x
f ´( x = ( 1/x * x - ln (x) * 1 ) / x^2
( 1/x * x - ln (x) * 1 ) = 0
1 - ln ( x ) = 0
ln ( x ) = 1
x = e

Es gibt keine weitere Stelle mit f ´( x ) = 0

Comments

Das es nur ein Extremum gibt folgt also einfach nur daraus, dass die erste Ableitung nur eine Nullstelle hat?! Ogott bin ich blöd! Danke für die Aufklärung!

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Gräme dich nicht allzzulange.

  Hier, zur Aufheiterung, eine Anekdote über Albert Einstein ( wenn Sie nicht wahr ist, dann ist sie gut erfunden )

  Albert Einstein hatte gerade seine spezielle Relativitätstheorie ausgetüftelt und war erst in Fachkreisen bekannt. Er bekam eine Einladung nach Amerika um dort seine Theorie an Universitäten vorzustellen.

  Albert Einstein nahm das Angebot an, reiste nach Amerika und bekam u.a. einen jungen Doktoranten als Chauffeur zur Verfügung gestellt um ihn an die verschiedenen
Universitäten zu fahren.

  Nach ein paar Vorträgen sagte der Doktorant zu Einstein : " Herr Einstein, ich habe jetzt Ihren Vortrag mehrmals gehört und denke das ich die Theorie auch verstanden habe. Ich könnte die Theorie auch erklären. "

  Einstein war skeptisch. Es wurde aber ein Rollentausch vereinbart. Der Doktorant sollte den nächsten Vortrag halten,
während Einstein sich unter die Zuhörer mischen würde. Der Vortrag wurde zur Zufriedenheit gehalten, danach konnten die Zuhörer noch Fragen stellen.

  Eine Frage war besonders kniffelig. Der Doktorant
antwortete " Die Frage ist so einfach " und zeigte
auf Einstein " das Sie  auch mein Chauffeur
beantworten kann ".

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Har har :-)
Ja, den Witz kenne ich :-)

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Dann wollen wir einmal sehen ob wir
etwas Erheiterndes finden das du noch
nicht kennst.

  Der Schachspieler Euwe fuhr mit dem Zug. Er kam mit seinem Gegenüber im Abteil ins Gespräch,
ohne einander vorzustellen, und man beschloß zum Zeitvertreib Schach zu spielen.

  Im Laufe des Spiels machte sein Gegenüber einen nicht regelgerechten Zug, der dem Gegner auch einen Vorteil verschaffte. Trotzdem gewann Euwe das Spiel souverän.

  Der Gegenspieler dachte bei sich " wie ist das möglich das ich hier gegen jemanden verliere, der zudem die Regeln noch nicht einmal zu kennen scheint" und sagte zu Euwe
" Ich verstehe das nicht das ich hier so haushoch verliere. In meinem Verein gehöre ich mit zu den Besten. Im Verein nennt man mich den kleinen Euwe ".

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Cooles Forum, mit psychologischer Betreuung *grins*.

Im Laufe des Spiels machte sein Gegenüber einen nicht regelgerechten Zug, der dem Gegner auch einen Vorteil verschaffte. Trotzdem gewann Euwe das Spiel souverän.

Sollte das nicht heißen: Im Laufe des Spiels machte Euwe  einen nicht regelgerechten Zug, der dem Gegner auch einen Vorteil verschaffte. Trotzdem gewann Euwe das Spiel souverän.

?

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Nein.
Der Gegner macht einen nicht regelgerechten
Zug um sich einen Vorteil zu verschaffen.

Lebensweisheiten
Wer allem gegenüber offen ist kann nicht
ganz dicht sein.

und
Du sollst Vater und Mutter ehren als ob sie
deine Eltern wären ( Otto )

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Okay, jetzt verstehe ich das. Ja, der Witz ist nicht übel *grins*

Mit hat der Satz 

Im Laufe des Spiels machte sein Gegenüber einen nicht regelgerechten Zug, der dem Gegner auch einen Vorteil verschaffte.

verwirrt. Vor allem die fett markierte Stelle. Da hätte ich eher geschrieben

Im Laufe des Spiels machte sein Gegenüber einen nicht regelgerechten Zug, der ihm einen Vorteil verschaffte.

Naja aber da war ja auch mein Gehirn voll mit Mathe. :D