Rekursive Folge - Vollständige Induktion

Question

Gegeben sei die rekursive Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) mit
\( a_{n+1}=\frac{a_{n}+5}{2} \text { sowie } a_{0}=1 . \)
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt:
\( a_{n}=5-\frac{4}{2^{n}} \)

Ich habe IA mit n= 0 bewiesen = a₀ = 1 = 5 - 4/2⁰ = 1

^{Beim IS komme ich leider nicht weiter, kann mir jemand helfen?}

Answer 1

Zeige dass gilt:

5 - 4/2^(n + 1) = ((5 - 4/2^n) + 5)/2

Comments

Bis ((5 - 4/2ⁿ) + 5)/2  habe ich es geschaft, von dort aus komme ich leider nicht weiter.

Was wäre der nächste schritt?

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Was hast du geschafft? meine Zeile abzuschreiben? Denn genau den Ausdruck hatte ich dort ja bereits stehen?

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Das hier hatte ich bereits, nur weiß ich nicht, wie ich von da aus weiter komme.

Text erkannt:

\( a_{n+1}=\frac{a_{n}+5}{2} \) sowie \( a_{0}=1 \).
Zeigen, Fir alle nelo g:lt:
\( a_{n}=5-\frac{4}{2^{n}} \)
|A:
\( \begin{array}{l} n=0 \\ a_{0}=1=5-\frac{4}{2}=5-4=1=0 \end{array} \)
\( V: \exists n \in \mathbb{N}: a_{n}=5-\frac{4}{2} \)
\( 2.2: \frac{n \rightarrow n+1}{a_{n+1}=5-\frac{4}{2^{n+1}}} \)
\( \begin{aligned} a_{n+1} &=\frac{a_{n}+5}{2} \\ \underline{y}=& \frac{5-\frac{4}{2^{n}}+5}{2} \end{aligned} \)

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5 - 4/2^(n + 1) = ((5 - 4/2n) + 5)/2

2·5 - 2·4/2^(n + 1) = (5 - 4/2n) + 5

10 - 4/2^n = 10 - 4/2n