Kann mir einer sagen wo mein Fehler liegt? (Vollständige Induktion/rekursive Folge)

Question

Am Ende stört mich die 2, die eigentlich eine 1 sein müsste.

Answer 1

Zunächst einmal: Wenn in der IV die Terme für n und für (n-1) vorausgesetzt werden, müssen im IA auch n= 0 und n=1 betrachtet werden. Der Fehler ist bei der zweiten Umformung nach Anwendung der IV passiert. Du hast da aus einem Faktor 2^-2 im Nenner eine Multiplikation mit 2² im Zähler gemacht, das ist korrekt. Aber aus 2ⁿ * 2^-1 im Zähler müsste dann 2ⁿ * 2¹ werden und nicht 2ⁿ * 2². Abgesehen davon ein Tipp: Die explizite Bildungsvorschrift kann man auch umschreiben zum Beispiel zu 2 - 2^1-n  oder ähnlich, dann werden die Umformungen vermutlich deutlich einfacher.

Comments

Ich habe aber auch die 2^–1 im Zähler runter gebracht. Deswegen stimmt doch die Umformung

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Die zusätzliche 2 im Nenner muss an der Stelle auch weg. Oder du erweiterst noch mit 2,  aber dann hättest du das in der Differenz zwei Mal machen müssen. Wenn du noch nicht überzeugt bist und ganz sicher sein willst, dass dort der Fehler ist: setze in beide Terme irgendwas für n ein und vergleiche. Ich wähle zum Beispiel n = 3. Dann erhältst du vor der Umformung (4 -1) / 2, also 1,5. Und danach: (32 - 4) / 16, also 1,75. Es müsste (16 - 4) / 8 oder (32 - 8) / 16 sein. Aber nochmals: Du kannst die Terme anders schreiben, dann wird es deutlich einfacher.