Vollständige Induktion: Variante der Bernoulli Ungleichung

Question

Ich soll zeigen, dass für alle reellen Zahlen 0 <= x <= 1 und alle natürlichen Zahlen n gilt:

$$ ( 1 - x ) ^ { n } \leq \frac { 1 } { 1 + n x } $$

Habe nun folgenden Ansatz:

Zuerst für n = 0 kommt auf beiden Seiten 1 raus, dies ist also nun meine Annahme.

Dann wil ich das ganze für n+1 zeigen:

$$ ( 1 - x ) ^ { n + 1 } \leq \frac { 1 } { 1 + n x + x } $$

Induktionsschritt:

$$ ( 1 - x ) ^ { n + 1 } = ( 1 - x ) ^ { n } ( 1 + x ) ^ { 1 } \leq \left( \frac { 1 } { 1 + n x } \right) ( 1 + x ) $$

Orientiert habe ich mich dabei an dem Beweis der normalen Bernoulli Ungleichung, aber weiß nicht ob ich damit so weiterkomme und hänge nun auch bei der Umformung fest.

Comments

Du hast schon ein Vorzeichen Fehler eingebaut ;) (1-x) anstatt (1+x)

Am Ende muss ja rauskommen

<=1/(1+(n+1)x))

Versuche dorthin abzuschätzen.

---

Das (1-x) steht so in der Aufgabe^^

Answer 1

zuerst für n = 0 kommt auf beiden Seiten 1 raus, dies ist

der INDUKTIONSANFANG bzw. die VERANKERUNG.

Annahme ist: Die Ungleichung gilt für (igend)ein n

Dann will ich das ganze für n+1 zeigen:  #

$$(1-x)^{n+1} ≤  \frac{1}{1+nx+x}$$

$$<=> (1-x)*(1-x)^{n} ≤  \frac{1}{1+nx+x}$$

$$<=> (1-x)^{n} ≤  \frac{1-x}{1+nx+x}=\frac{1}{1+nx+x}-\frac{x}{1+nx+x} $$

und wenn du zeigst, dass das was rechts steht  ≤   1 / (1+nx) ist, hast du

ja die Gültigkeit von # auf die Induktionsannahme zurückgeführt.

Und dem ist so; denn zunächst gilt

$$\frac{1}{1+nx+x}-\frac{x}{1+nx+x} ≤ \frac{1}{1+nx+x} $$

Denn der Subtrahend ist wegen 0≤x≤1 positiv.

Und dann gilt

$$  \frac{1}{1+nx+x} ≤ \frac{1}{1+nx}  $$

weil der erste Bruch einen größeren Nenner als der zweite hat.