Vollständige Induktion mit Hilfe der Bernoulli Ungleichung !

Question

Also ich hab folgendes Problem:

Ich habe folgende Gleichung:

n! ≤ 4*(n/2)ⁿ⁺¹für ∀ n ≤ ℕ

IA: n=1

dürfte klar sein.

IV Ist auch klar.

IS n->n+1

Zu zeigen: (n+1)!≤ 4*((n+1)/2)ⁿ⁺¹⁺¹

Also: (n+1)! ≤ (n+1)*n!

n! durch InduktionsVoraussetzung ersetzen

also (n+1)*n! ≤  (n+1)* 4*(n/2)ⁿ⁺¹

ab da hab ich keine Ahnung mehr. Ich hab bereits jede Umformung versucht, aber komme nicht auf den Punkt bei dem ich die Bernoulli Ungleichung benutzen soll.

Ein vernünftiger Ansatz nach meiner Umformung wäre toll. Lösungen sind auch gerne gesehen. Ich bedanke mich schonmal im Voraus.

P.D.

Answer 1

Ich habe folgende Gleichung:

n! = 4*(n/2)n+1für alle n aus IN

IA: n=1

dürfte klar sein.

IV Ist auch klar.

IS n->n+1

Zu zeigen: (n+1)!= 4*((n+1)/2)n+1+1

Also: (n+1)! = (n+1)*n!

n! durch InduktionsVoraussetzung ersetzen
also (n+1)*n! =  (n+1)* 4*(n/2)n+1

ab da hab ich keine Ahnung mehr. Ich hab bereits
jede Umformung versucht, aber komme nicht auf den
Punkt bei dem ich die Bernoulli Ungleichung benutzen soll.
 also  (n+1)! =  (n+1)* 4*(n/2)n+1=

und du musst zeigen, das ist kleiner oder gleich 4*((n+1)/2 )^{n+2}
weil ich den Bernoulli am liebsten in der Form (1+x)^m > 1+m*x anwende,
habe ich das, was zu zeigen ist  mal umgeschrieben:
4*((n+1)/2 )^{n+2}  > (das oder gleich las ich mal weg)  (n+1)* 4*(n/2)ⁿ⁺¹
mal erst durch 4
((n+1)/2 )^{n+2}  > (n+1)* (n/2)ⁿ⁺¹ gleiche Eponenten herstellen:
((n+1)/2 )    * ((n+1)/2 )^{n+1}   > (n+1)* (n/2)ⁿ⁺¹ durch rechte Seite teilen
                                                                                    (kein Problem, da alles positiv)

((n+1)/2 ) / (n+1)   *   ((n+1)/2 )^{n+1} / (n/2)ⁿ⁺¹   >  1
1/2                            *  ( (n+1)/n )ⁿ⁺¹   >   1           |*2
                                   (  (n/n)  +  (1/n)  ) ⁿ⁺¹  > 2
                                   ( 1  +  1/n ) ⁿ⁺¹   >  2    Bernoulli!
      ( 1  +  1/n ) ⁿ⁺¹   >  1 +  (1/n)*(n+1)  1 + 1 + 1/n  = 2 + 1/n  > 2 Bingo!