Ich habe folgende Gleichung:
n! = 4*(n/2)n+1für alle n aus IN
IA: n=1
dürfte klar sein.
IV Ist auch klar.
IS n->n+1
Zu zeigen: (n+1)!= 4*((n+1)/2)n+1+1
Also: (n+1)! = (n+1)*n!
n! durch InduktionsVoraussetzung ersetzen
also (n+1)*n! = (n+1)* 4*(n/2)n+1
ab da hab ich keine Ahnung mehr. Ich hab bereits
jede Umformung versucht, aber komme nicht auf den
Punkt bei dem ich die Bernoulli Ungleichung benutzen soll.
also (n+1)! = (n+1)* 4*(n/2)n+1=
und du musst zeigen, das ist kleiner oder gleich 4*((n+1)/2 )^{n+2}
weil ich den Bernoulli am liebsten in der Form (1+x)^m > 1+m*x anwende,
habe ich das, was zu zeigen ist mal umgeschrieben:
4*((n+1)/2 )^{n+2} > (das oder gleich las ich mal weg) (n+1)* 4*(n/2)n+1
mal erst durch 4
((n+1)/2 )^{n+2} > (n+1)* (n/2)n+1 gleiche Eponenten herstellen:
((n+1)/2 ) * ((n+1)/2 )^{n+1} > (n+1)* (n/2)n+1 durch rechte Seite teilen
(kein Problem, da alles positiv)
((n+1)/2 ) / (n+1) * ((n+1)/2 )^{n+1} / (n/2)n+1 > 1
1/2 * ( (n+1)/n )n+1 > 1 |*2
( (n/n) + (1/n) ) n+1 > 2
( 1 + 1/n ) n+1 > 2 Bernoulli!
( 1 + 1/n ) n+1 > 1 + (1/n)*(n+1) 1 + 1 + 1/n = 2 + 1/n > 2 Bingo!
