Hier ein Beispiel, das nach genau dem gleichen Schema bewiesen wird. Tipp: Die Folge ist in diesem Fall durch 1/2 und 4 beschränkt und ist streng monoton fallend!
Text erkannt:
Beispiel 3
Man zeige, dass die durch
\( a_{1}=3, \quad a_{n+1}=\frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3}, \quad n \in \mathbb{N} \)
definierte Folge konvergiert und man berechne den Grenzwert
Lösung:
Wir beweisen zuerst, dass die Folge beschränkt ist: Für \( n=1 \) gilt \( \sqrt{7}<a_{n} \leq 3 \)
\( \begin{aligned} \sqrt{7} &<a_{n+1} & & \leq 3 \\ \sqrt{7} &<\frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3} & \leq 3 \\ 3 \sqrt{7}+\sqrt{7} a_{n} &<3 a_{n}+7 & \leq 3 a_{n}+9 \end{aligned} \)
Also ist die Folge beschränkt, weiter zeigen wir, dass sie streng monoton fällt:
\( \begin{aligned} a_{n+1} &<a_{n} \\ \frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3} &<a_{n} \\ 3 a_{n}+7 &<a_{n}^{2}+3 a_{n} \\ 7 &<a_{n}^{2} \\ \pm \sqrt{7} &<a_{n} \end{aligned} \)
Also ist die Folge streng monoton fallend. Somit konvergiert die Folge in diesem Intervall gegen \( a \). Für große \( n \) können wir somit \( a_{n}=a_{n+1}=a \) setzen:
\( \begin{aligned} a &=\frac{3 a+7}{a+3} \\ a^{2}+3 a &=3 a+7 \\ a^{2} &=7 \\ a &=\pm \sqrt{7} \end{aligned} \)
Da \( a_{n} \) kann nur \( +\sqrt{7} \) konvergieren, also ist das der Grenzwert.
