schöne Aufgabe, die du uns zeigst. Wo genau hast du ein Problem? Wo hängt es? Was hast du schon ausprobiert?
Ein bisschen eigene Arbeit und Ansätze sind immer gerne gesehen!
Ich zeige dir, wie man es bei einer Aufgabe macht. Den Rest schaffst du dann sicherlich alleine. Schauen wir uns mal die a) an.
Wir haben die Folge
\( a_n := \frac{n-\cos(n)}{5n+2} \)
gegeben.
Meine Behauptung ist nun, dass die Folge gegen den Grenzwert \( \frac{1}{5}\) konvergiert.
Wir beweisen also nun, dass
\( \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: |a_n - \frac{1}{5}| < \epsilon \)
Beweis:
Sei \( \epsilon > 0\). Sei weiter \( N \in \mathbb{N} \) mit \( N > \frac{7-2\epsilon}{5n} \), so gilt für alle \( n \geq N \):
\( |\frac{n-\cos(n)}{5n+2} - \frac{1}{5}| = |\frac{5\cos(n) + 2}{5n + 2}| \stackrel{\cos(n) \leq 1}{\leq} |\frac{7}{5n + 2}| \stackrel{n \geq 0}{=} \frac{7}{5n + 2} \leq \frac{7}{5N + 2} < \frac{7}{5(\frac{7-2\epsilon}{5\epsilon}) + 2} < \epsilon\)
Wir haben also gezeigt, dass \( |a_n - \frac{1}{5}| < \epsilon \) für alle \(\forall n \geq N\). Dies impliziert, dass die Folge \(a_n\) konvergiert. Wir können sogar sagen, dass
\(a_n \stackrel{n \to \infty}{\to} \frac{1}{5}\).
Nun zur großen Frage, die ich mir damals auch immer gestellt habe, "wie kommt man auf das N und den Grenzwert?!"
Den Grenzwert habe ich folgendermaßen ausgerechnet:
\(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n-cos(n)}{5n+2} \leq \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n-1}{5n+2} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{5+\frac{2}{n}} = \frac{1}{5} \),
wobei \(\frac{a}{n} \stackrel{n \to \infty}{\to} 0, a \in \mathbb{R}\), eine nach Vorlesung bekannte Nullfolge ist.
Nun setzen wir den Grenzwert einfach mal in der Definition ein:
\( |\frac{n-\cos(n)}{5n+2} - \frac{1}{5}| \)
und formen solange um, bis wir auf
\( \frac{7}{5n+2} < \epsilon \)
stoßen. Nach n umgestellt bekommen wir
\( n > \frac{7-2\epsilon}{5\epsilon} \)
Also definieren wir unser N als
\( N > \frac{7-2\epsilon}{5\epsilon} \).
Nun haben wir alles, um den Beweis durchführen zu können.
Jetzt weißt du, wie man bei sowas vorgeht, welches "Tricks" es gibt und kannst die anderen Aufgaben bestimmt alleine lösen.
Lg
