Hi. Für die a) kannst du die Eulersche Formel verwenden.
Eulersche Formel: $$ e^{iy} = cos(y) + i \cdot sin(y), \text{ für } y \in \mathbb{R} $$
$$ e^{\pi \cdot n(n+1)i} = cos(\pi \cdot n(n+1)) + i\cdot sin(\pi \cdot n(n+1)) $$
$$ \rightarrow\; n(n+1) \text{ ist immer \textit{gerade} für jedes } n\in\mathbb{N} $$
$$ \rightarrow\; cos(\pi \cdot n(n+1)) = 1,\; \forall\,n\in\mathbb{N} $$
$$ \rightarrow\; sin(\pi \cdot n(n+1)) = 0,\; \forall\,n\in\mathbb{N} $$
$$ \rightarrow\; e^{\pi \cdot n(n+1)i} = 1,\; \forall\,n\in\mathbb{N} $$
$$ \rightarrow\; a_n = \dfrac{8n^2 +7n + 14}{-8n^3 +9n^2 +5n + 11} + 1 $$
$$ \begin{array}{lll} \rightarrow\;\lim\limits_{n\to\infty} a_n & = & \lim\limits_{n\to\infty} \biggl(\dfrac{8n^2 +7n + 14}{-8n^3 +9n^2 +5n + 11} + 1\biggr)\\ & = & \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{8n^2 +7n + 14}{-8n^3 +9n^2 +5n + 11} \; + \; \lim\limits_{n\to\infty} 1\\ & = & 0 + 1\\ & = & 1\\ \end{array}$$
Und für die Aufgabe b) einfach die 3. binomische Formel anwenden:
$$ \begin{array}{lll} \rightarrow\; a_n & = & \dfrac{(3+ 4i)^{2n}}{26^{2n}}\cdot (-3+4i)^{2n}\\ & = & \Biggl(\dfrac{(3+ 4i)\cdot(-3+4i)}{26}\Biggr)^{2n}\\ & = & \biggl(\dfrac{-25}{26}\biggr)^{2n}\\ & = & \biggl(\dfrac{25}{26}\biggr)^{2n}\\ \end{array} $$
$$\rightarrow\; \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} \biggl(\dfrac{25}{26}\biggr)^{2n} = 0$$
