Untersuchen Sie, ob die Folge ((2n über n))n€N konvergiert und berechnen sie gegebenenfalls den Grenzwert

Question

Ich bin schon zu folgendem ergebnis gekommen:

(2n über n) = (2n)! / (n!)²

= [ 1 * 2 * 3 * ......2n] / [ 1² * 2² * 3² .......n²] = [(n+1)*(n+2)*(n+3) .... (n +n)]  /  [1*2*3.....*n]

reicht es jetzt zu sagen, dass die Folge gegen unendlich konvergiert, da der Nenner eindeutig größer ist als der Zähler, oder muss ich noch weiter umformen? und wenn ja, wie ?

vielen Dank schonmal =)

Answer 1

du kannst deine Folge \(a_n\) auch schreiben als

$$ a_n = \frac{2n \cdot (2n-1) \cdots (n+1)}{n!}$$

Insbesondere kannst du sie damit nach unten abschätzen durch (Überlege selbst wieso)

$$ \frac{n^n}{n!} \leq a_n $$

Diese Folge divergiert, also divergiert auch deine Folge \(a_n\)

Gruß

Comments

also ich kann den nenner nach unten abschätzen, da ich in ihm ja n mal größere zahlen als n (also n+1, n+2 ...n+n) multipliziere. Das ist auf jeden Fall größer als nⁿ    (n mal n*n ).

Die Folge  nⁿ /n! divergiert gegen unendlich, da ich im Nenner n mal n*n gerechnet wird, was größer ist, als
n*(n-1)*(n-2)......*1 (also n!)

hab ich das so richtig verstanden ?

---

Zum ersten Absatz: Du meinst den Zähler, aber ja die Überlegung ist richtig.

Das Argumentation im zweiten Absatz würde aber nicht als Beweis der Divergenz ausreichen.

Es gibt eine weitere einfache Abschätzung die du machen kannst, falls ihr eine Folge in dieser Form noch nicht durchgenommen habt.

Tipp dazu: Schreib dir mal alle Faktoren im Zähler und Nenner auf!

---

ok.. ich habe ja  (n/1 * n/2 * n/3 * .... * n/n) >= (n/1 * (n/n)^n-1 )  ist für n gegen unendlich n/1*1, also n =)

---

* also ich wollte sagen ist für n gegen unendlich unendlich

---

Super =)