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$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2n+1 }{ { n }^{ 4 }+{ 2n }^{ 3 }+{ n }^{ 2 } }  } $$



Beweisen Sie Ihre Antwort und bestimmen Sie im Falle

von Konvergenz den Grenzwert.

Hinweis:

Es ist 2n+1 = (n+1)2 - n2 ; verwenden Sie die Technik der Teleskopreihen.


Wie Beweise ich das? LG

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1 Antwort

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betrachte die \(N\)-ten Partialsummen der Reihe unter Beachtung des Hinweises.$$\sum_{n=1}^N\frac{2n+1}{n^4+2n^3+n^2}=\sum_{n=1}^N\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}\\=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\right)=1-\frac1{(N+1)^2}.$$Daraus folgt die Konvergenz der Reihe, deren Summe nun leicht durch Grenzwertbildung zu bestimmen ist.
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