Reihe konvergent oder divergent?

Question

Aufgabe:

Man betrachte die Folgen

\( a_{k}=\left\{\begin{array}{ll}{2} & {\text { falls } k=0} \\ {2^{k}} & {\text { falls } k \geq 1}\end{array}, \quad b_{k}=\left\{\begin{array}{ll}{-1} & {\text { falls } k=0} \\ {1} & {\text { falls } k \geq 1}\end{array}\right.\right. \)

a.) Man zeige, dass \( \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \) und \( \sum_{k=0}^{\infty} b_{k} \) divergent sind.

b.) Man berechne \( c_{k}:=a_{0} b_{k}+a_{1} b_{k-1}+\ldots+a_{k} b_{0} \)

Ist \( \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} \) konvergent oder divergent? Im Falle der Konvergenz berechne man den Grenzwert.

Answer 1

zu a)

Beide Summen sind offenbar unbeschränkt.

Beweis: zur ersten:

Sei C>0 eine obere Schranke

==> Für alle  n∈N gilt

$$\sum \limits_{k=0}^{n}a_{k} \leq C$$

also insbesondere (da kein Summand negativ ist)

         $$a_{n} \leq C$$

<=>  2^n ≤ C

<=>  n*ln(2) ≤ ln(C)

<=>  n ≤ ln(C) / ln(2)

Das kann aber nicht für alle n gelten.

Entsprechend auch bei der 2. Summe bedenke:

Die Summe bis n ist für n>2  immer gleich n-2.