Zeigen Sie, dass A genau dann invertierbar ist, wenn a d-b c $\neq$ 0 gilt. Mit Injektiver funktion.

Question

Aufgabe:

Sei \( A:=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) eine reelle \( 2 \times 2 \) Matrix.

(a) Zeigen Sie, dass \( A \) genau dann invertierbar ist, wenn \( a d-b c \neq 0 \) gilt.

Hinweis: Wenn \( A \) invertierbar ist, dann ist die Abbildung \( \varphi_{A}: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}, \varphi_{A}(B)=A \cdot B \) injektiv.

Problem/Ansatz:

Gerade habe ich keine Ahnung wie ich da Anfangen sollte.

Ich habe noch nicht den Begriff der Determinante eingeführt aber den vom Gauß-Algorithmus. Andererseits sollte man diesen Hinweis verwenden.

Answer 1

Die inverse Matrix berechnet ich zu $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$ wenn \( \det(A) = ad - bc \ne 0 \) gilt. Kann man einfach nachrechnen.

Comments

Hallo !

Ich habe den Begriff der Determinante eingeführt. Ich sollte dies mit meinen derzeitgen Erfahrung beweisen. Sollte aber dies noch gehen würde ich dies dann auch verwenden.

Vielen dank nochmals im voraus.