Hallo, "genau dann wenn" bedeutet, dass du eine Äquivalenz zeigen sollst. Eine Äquivalenz zeigt man, indem man zeigt, dass die Implikation in beide Richtungen gilt. Das heißt, zeige: f ∈ Sym(M) ⇒ f bijektiv, und f bijektiv ⇒ f ∈ Sym(M).
Du brauchst die Definition Sym(M):= {f: M → M | es existiert ein g: f ° g = g ° f = idM } (beidseitig invertierbar heißt ja eben, dass es so ein g gibt.)
Wenn f ∈ Sym(M), dann gibt es also solch ein g. Welche Eigenschaften muss f denn haben, damit es so ein g gibt? Stell dir vor, f wäre nicht injektiv. Dann gäbe es x1 ≠ x2 mit f(x1)=f(x2). Jetzt müsste das g diesen Wert sowohl auf x1, als auch auf x2 abbilden. Das geht nicht, weil eine Funktion einen Wert aus dem Definitionsbereich immer nur auf einen Wert im Zielbereich abbilden kann. Also muss f injektiv sein. Kannst du einen ähnlichen Beweis führen, der zeigt, dass f surjektiv sein muss, damit so ein g existiert? Wenn du den hast, ist klar, dass f bijektiv sein muss, wenn f beidseitig invertierbar ist.
Für die andere Richtung: Angenommen, f ist bijektiv. Jetzt musst du die Eigenschaften der Injektivität und Surjektivität nutzen, und daraus eine Vorschrift für das g konstruieren, sodass f ° g = idM = g ° f gilt. Wenn du so eine Vorschrift findest, ist ja klar, dass es so ein g gibt. Und wenn es so ein g gibt, ist f beidseitig invertierbar. Das ist deine Aufgabe :)
