Wie zeigt man, daß es genau dann eine bijektive Abbildung f∶ {1,2,...,n}→{1 2,..., m} gibt, wenn n = m ist?

Question

Seien n, m ∈ N zwei natürliche Zahlen. Zeigen Sie, dass es genau dann eine bijektive Abbildung f ∶ {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , m} gibt, wenn n = m ist. 

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EDIT: Du sollst hier zeigen, dass es genau dann eine bijektive Abbildung gibt, wenn die beiden endlichen Mengen gleich viele Elemente haben. Ich habe die Überschrift der Frage entsprechend abgeändert.

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Kann sein, dass du das hier suchst: https://www.mathelounge.de/350729/wieviele-bijektive-abbildungen-x-nach-gibt-es-hat-elemente

Answer 1

Im Hotel. Stell Dir vor, \(\{1,2,\ldots,n\}\) sind Gaeste und  \(\{1,2,\ldots,m\}\) sind Zimmer. Injektiv heisst dann, dass jeder sein eigenes Zimmer bekommt, surjektiv, dass alle Zimmer belegt werden, und bijektiv eben beides zusammen. Selbst der Praktikant an der Rezeption sieht dann ein, dass bijektiv nur für \(n=m\) geht.

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vielen Dank für die gute Erklärung aber bitte wie kann ich das mathematisch formulieren ?

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Ein Beweis besteht aus logischen Argumenten. Ich hab gar keine gebracht, sondern nur gesagt, dass "natuerlich" m = n sein muss. Erklaere, warum das so sein muss. Was geht bei m < n schief, was bei m > n und warum klappt es bei m = n? Wenn Du das formuliert hast, dann hast Du Deinen Beweis. Er wird aus nichts anderem bestehen, nur dass Du darauf verzichtest, die Elemente der einen Menge "Gaeste" und die der anderen "Zimmer" zu nennen.

Answer 2

Jedem n wird genau ein m zugeordnet,

http://www.mathepedia.de/Bijektion.aspx