Äquivalenz von Injektivität, Surjektivität, Bijektivität bei Abbildung ƒ : M → M, wenn |M| endlich

Question

ich habe aktuell folgende Aufgabe zu lösen.

Es seien M eine endliche, nichtleere Menge und ƒ : M → M eine Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. ƒ ist injektiv,
2. ƒ ist surjektiv,
3. ƒ ist bijektiv.


Mir ist bewusst, was diese Aussagen jeweils bedeuten und mir ist auch klar warum es bei der Abbildung M → M so sein muss (wenn jedem Element aus M eines aus M zugeordnet wird, heißt das, dass bei Injektivität maximal eins zugeordnet wird. Daraus folgt, dass also auch mind. eins zugeordnet wird (Surjektivität). Und damit ist dann auch Bijektivität gegeben.)

Ich wollte also anfangen und 1. ⇒ 2. beweisen, um am Ende einen Ringschluss zu konstruieren.

Annahme: f ist injektiv, d.h. ∀m₁, m₂ ∈ M gilt: Wenn ƒ(m_{1) =} ƒ(m₂), dann m₁ = m₂ (Def. Injektivität)

An dieser Stelle komme ich schon nicht weiter. Ich möchte ja irgendwie dazu kommen zu sagen, dass:

∀m ∈ M ∃ m ∈ M : ƒ(m) = m (Def. Surjektivität, stimmt die?). Ich weiß aber nicht wie ich das formal beschreibe bzw. wie ich von meinem Ausgang der Injektivitätsannahme zur Surjektivität komme.

Könnt Ihr mir freundlicherweise helfen?

Vielen Dank
Michael

Comments

∀m ∈ M ∃ k ∈ M : ƒ(k) = m (Def. Surjektivität, meine Version (nimm die Version in deinem Skript). Zu Fixpunkten darfst du nicht einfach etwas voraussetzen. Irgendwie solltest du die Endlichkeit von M ausnützen. Man kann z.B. voraussetzen, dass |M| = q Element N. 

Answer 1

Wir haben \(f(M)\subset M\), da \(f\) eine Selbstabbildung ist.

Bei Injektivitaet muss \(|f(M)|=|M|\) sein, also \(f(M)=M\).

Bei Surjektivitaet muss \(f(M)=M\) sein, also \(|f(M)|=|M|\).

(Idee aus Koecher, "Lineare Algebra", Springer.)