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(3) Es genüge \( (N, e, \nu) \) den Peano Axiomen. Seien \( A_{n}, n \in N \), die in Aufgabe 1 definierten Mengen. Zeigen Sie, dass es für \( k, n \in N \) genau dann eine bijektive Abbildung zwischen \( A_{k} \) und \( A_{n} \) gibt, wenn \( k=n \) gilt.
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Hallo! Bei dieser Aufgabe benötige ich etwas Hilfe. Ich habe einen „wenn dann“ Beweis begonnen. Das habe ich bisher:
(1) n=k
(2) f ist eine bijektive Abbildung von An -> Ak
(1) -> (2)
Wenn n=k dann An=Ak. Wenn zwei Mengen gleich sind haben sie die gleiche Mächtigkeit. Wenn zwei Mengen die gleiche Mächtigkeit besitzen, besteht eine bijektive Abbildung zwischen ihnen. ( diesen Satz haben wir in lineare Algebra gelernt)
So und jetzt komme ich nicht weiter. Hat jemand eine Idee für die andere Richtung?
Die Menge ist in Aufgabe 1 wie folgt definiert: Es genüge (N, e, ν) mit e ∈ N und ν : N → N \ {e} den Peano Axiomen. Seien An, n ∈ N, die eindeutig bestimmten Teilmengen von N für die gilt Ae = {e} und Aν(n) = An ∪ {ν(n)}.
