Es gibt eine bijektive Abbildung φ : [0, 1] → (0, 1).

Question

Aufgabe:

Es gibt eine bijektive Abbildung φ : [0, 1] → (0, 1).

Answer 1

Sei \(M \subseteq (0, 1)\) abzählbar unendlich.

Sei \(o:\ \mathbb{N}_0\to M\) bijektiv.

Sei \(o': \mathbb{N}_0\to M\cup\{0,1\}\) definiert durch

        \(o'(n) = \begin{cases}n&n\in \{0,1\}\\o(n-2)&n\in \mathbb{N}_0\setminus\{0,1\}\end{cases}\)

Dann ist \(\varphi:\ [0,1]\to(0,1)\) mit

        \(\varphi(x)=\begin{cases}o(o'^{-1}(x))&x\in M\cup\{0,1\}\\x&x\in (0,1)\setminus M\end{cases}\)

bijektiv.