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(2) Es genüge \( (N, e, \nu) \) den Peano Axiomen. Seien \( A_{n}, n \in N \), die in Aufgabe 1 definierten Menge. Zeigen Sie, dass
\( x \leq y: \Longleftrightarrow A_{x} \subseteq A_{y} \)
eine Ordnungsrelation auf \( N \) definiert.
Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass die Menge
\( L:=\left\{n \in N \mid \text { das einzige } x \in A_{n} \operatorname{mit} \nu(x) \notin A_{n} \text { ist } n\right\} \)
induktiv ist. Verwenden Sie dies zum Beweis der Aussage.
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Hallo! Bei dieser Aufgabe komme ich mit dem Schritt der Antisymmetrie nicht weiter. Der Tipp soll dabei helfen. Aber ich habe ein Problem: Ich dachte induktiv bedeutet, dass von den Elementen immer die Nachfolger in der gleichen Menge sind. Aber so wie L definiert ist, würde das für ein x nicht zutreffen. Wie kann dann L induktiv sein?
Die Menge ist in Aufgabe 1 wie folgt definiert: Es genüge (N, e, ν) mit e ∈ N und ν : N → N \ {e} den Peano Axiomen. Seien An, n ∈ N, die eindeutig bestimmten Teilmengen von N für die gilt Ae = {e} und Aν(n) = An ∪ {ν(n)}.
