strenge Ordnungsrelation
Das ist ein zu offener Begriff. Wie habt ihr ,,streng" genau formal definiert?
Ansonsten, beschreibt eine Ordnungsrelation eine Relation R auf einer Grundmenge S mit den Eigenschaften:
1.) Reflexivität: \(\forall a\in S \quad \Rightarrow \quad (a,a)\in R. \)
2.) Antisymmetrie: \(\forall x,y\in S\) mit \((x,y),(y,x)\in R \quad \Rightarrow \quad x=y\).
3.) Transitivität: \(\forall x,y,z\in S\) mit \(\Big((x,y)\in R\) und \((y,z)\in R\Big) \quad \Rightarrow \quad (x,z)\in R\).
Solche Ordnungsrelationen werden auch gerne als partielle Ordnungen bezeichnet.
Jetzt kann man aber noch weiter gehen und eine noch strengere Forderung an solch obigen Ordnungen stellen:
4.) \(\forall v,w\in S \quad \Rightarrow \quad \Big( (v,w)\in R \) oder \((w,v)\in R\Big)\).
Erfüllt eine partielle Ordnung Eigenschaft 4.), so nennt man diese totale Ordnung.
Beispiele für partielle Ordnungen:
- Teilbarkeitsrelation auf ℕ
- ,,≤" Relation auf ℝ oder auf ℕ
- Sei G=(V,E) ein gerichteter Graph ohne gerichtete Kreise. Dann ist die Relation ,,es existiert ein (gerichteter) Weg von v nach w" eine partielle Ordnung auf V.
- Grundmenge \( S=ℝ^2 \) und \(R=\{((a,b),(c,d))\in S\times S: a\leq c \land b\leq d\}\)
Totale Ordnung:
- ,,≤" Relation auf ℝ oder auf ℕ
