Das Ganze ist recht aufwändig.
Eigentlich müsste man vorab zeigen, dass die Definition der Relation
wohldefiniert ist.
Ich zeige aber hier als Beispiel nur die Transitivität, also:
\([m,n]\leq[m',n']\;\wedge \; [m',n']\leq [m'',n'']\Rightarrow [m,n]\leq [m'',n'']\).
Die Prämisse besagt:
\(m+n'\leq m'+n\;\wedge\; m'+n''\leq m''+n'\).
Addition der beiden Ungleichungen ergibt:
\((m+n'')+(m'+n')\leq (m''+n)+(m'+n')\quad (*)\).
Nun gilt in \(\mathbb{N}\) die "Kürzungsregel" \(a+c\leq b+c\Rightarrow a\leq b\).
Auf \((*)\) angewendet folgt: \(m+n''\leq m''+n\), also
\([m,n]\leq [m'',n'']\).
Die Antisymmetrie folgt ähnlich ...
Ob die Totalität gezeigt werden muss, musst du schauen.
Die Reflexivität ist trivial.
So, nun guck dir das in Ruhe alles an, versuche es zu verstehen
und mache dich über die Antisymmetrie selbständig her ;-)
