Zeigen Sie, dass [a] * [b] := [ab] eine wohldefinierte Verknüpfung auf ℤ/7ℤ ist.

Question

Es sei ≡ die Äquivalenzrelation 

a ≡ b ⇔ 7 teilt b - a

auf der Menge ℤ der ganzen Zahlen. Weiter bezeichne ℤ/7ℤ die Menge der Äquivalenzklassen bzgl. ≡.

Zeigen Sie, dass [a] * [b] := [ab] eine wohldefinierte Verknüpfung auf ℤ/7ℤ ist.

Wie fange ich hier an? Die Aufgabe verwirrt mich total.

Comments

Es ist [3]=[10] und [79]=[2]. Zeige [3]*[79]=[10]*[2], aber im Allgemeinfall. Also aus [a]=[c] und [b]=[d] folgt [ab]=[cd]. Das ist die Wohldefiniertheit. Es ist egal, mit welchen Repraesentanten ich rechne, ich lande mit dem Ergebnis immer in der einen Produktklasse.

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Ahh das LA1 ÜB3 am Kit, die aufgabe verwirrt mich auch etwas^^

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du bist nicht allein ;)

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Was nachzurechnen ist, ist folgendes: $$a\equiv c\quad\wedge\quad b\equiv d\quad\Longrightarrow\quad ab\equiv cd.$$

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wo  kommt diese Gleichung her? also a≡c∧b≡d⟹ab≡cd Warum muss genau das gezeigt werden

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[a]=[c] und [b]=[d] folgt [ab]=[cd]

$$a\equiv c\quad\wedge\quad b\equiv d\quad\Longrightarrow\quad ab\equiv cd.$$

Hat die gleiche Bedeutung

Answer 1

Hallo,

seien \( b - a = 7c \) und \( b' - a' = 7c' \).

Wir berechnen

\( a a' = (b - 7c)(b' - 7c') \)
\( = b b' - 7 ( bc' + b'c - 7 cc') \)

und erkennen

\( b b' - a a' = 7 ( bc' + b'c - 7 cc') \).

Die oben definierte Multiplikation \( [a] \cdot [a'] = [aa'] \) in \( \mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z} \) hängt also nicht von den gewählten Repräsentanten der Äquivalenzklassen ab.

Grüße

Mister