Definiert ⊣ eine Ordnungsrelation auf Z?

Question

Aufgabe: Wir betrachten die Relation "ist Teiler" ⊣ von, d.h.   x⊣y:⟺∃k∈Z, x⋅k=y .

Definiert ⊣  eine Ordnungsrelation auf Z ? (nur Beweise zählen!)

Sei T(n):={x∈N | x⊣n}. Zeichnen Sie ein aufsteigendes Diagramm von T(60) und T(90) bzgl. ⊣ .

Für welche n∈N ist ⊣ eine lineare Ordnung auf T(n) ? (mit Begründung)

Problem/Ansatz:

Hi, wie beweist man das erste?

Und muss man beim 2ten alle Zahlen von 60 bis 90 einsetzen?

Und beim dritten habe ich leider auch nicht so richtig eine Idee.

Danke schonmal für eure Hilfe

Answer 1

Hi, wie beweist man das erste?

Vermutlich musst du nur "transitiv" beweisen:

Seien also a,b,c ∈ ℤ mit a ⊣ b  und b ⊣ c

==> ∃k∈Z, a⋅k=b und ∃n∈Z, b⋅n=c

==>               (a⋅k) ⋅n=c

==>     a⋅( k ⋅n) =c

und mit k und n ist auch k ⋅n ∈ℤ

also gibt es ein m∈Z (nämlich m= k ⋅n ) mit a⋅m=c

==>   a ⊣ c.         q.e.d.

Comments

Hi danke erstmal das habe ich jetzt verstanden, weißt du auch wie man die anderen beiden teile macht?

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Im 2. Teil geht es konkret um die Teilermengen

von 60 und von 90.

also bei 60 etwa die Menge 1, 2, 3, 4,5,6,10,...

und beim 3. Teil: lineare Ordnung :

Musst du mal die Def. anschauen:

Je zwei Elemente müssen vergleichbar

(hier also : einer Teiler vom anderen) sein.

Das geht wohl nur, wenn die Zahl eine

Primzahlpotenz ist.

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Danke erstmal das 2te ist jetzt auch klar, nur das dritte habe ich noch nicht ganz verstanden, was versteht man genau unter Primzahlpotenz? Also nur für n= Primzahlen?