Ordnungsrelation aber keine Totalordung Beweis

Question

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Aufgabe III.3 (4+6=10 Punkte):
(1) Sei \( \sim \) die Relation auf \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) definiert durch
\( \left(m_{1}, n_{1}\right) \sim\left(m_{2}, n_{2}\right) \quad: \Longleftrightarrow m_{1} \leq m_{2} \text { und } n_{1} \leq n_{2} \)
für alle \( \left(m_{1}, n_{1}\right),\left(m_{2}, n_{2}\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), wo \( \leq \) die übliche Ordnung auf \( \mathbb{N} \) bezeichnet. Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Ordnungsrelation aber nicht eine Totalordnung ist.
(2) Nehmen Sie an, dass \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) abzählbar ist. Sei daher \( f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) eine bijektive Abbildung. Sei nun \( \approx \) die Relation auf \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) definiert durch
\( \left(m_{1}, n_{1}\right) \approx\left(m_{2}, n_{2}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad f^{-1}\left(\left(m_{1}, n_{1}\right)\right) \leq f^{-1}\left(\left(m_{2}, n_{2}\right)\right) \)
für alle \( \left(m_{1}, n_{1}\right),\left(m_{2}, n_{2}\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \). Beweisen Sie, dass \( \approx \) eine Totalordnung ist.

Answer 1

\( \left(m_{1}, n_{1}\right) \sim\left(m_{2}, n_{2}\right) \quad: \Longleftrightarrow m_{1} \leq m_{2} \text { und } n_{1} \leq n_{2} \)

Ordnungsrelation heißt bei euch:

reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ?

Dann zeige das doch, etwa so:

reflexiv: Sei \( (a,a) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \).

==>   a≤a und   a≤a

==>   (a,a) ~ (a,a)  . Also ~ reflexiv.

antisymmetrisch: Zeige (a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ (a,b)

        ==>  .....

       ==>  a=c und b=d    ==>    (a,b) = (c,d).

transitiv: Zeige (a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ (e,f)

                   ==>   .......

                   ==>     (a,b) ~ (e,f).

Nicht total, weil z.B für ( 1;5) und (3;4)

weder      (1,5) ~ (3,4) noch   (3,4) ~ (1,5)  gilt.