Injektivität, surjektivität und bijektivität beweisen

Question

Text erkannt:

Sei
\( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad(x, y) \longrightarrow(x+2 y, y) . \)
(1) Beweisen Sie, dass \( f \) bijektiv ist, und berechnen Sie die Umkehrabbildung \( f^{-1} \).
(2) Sei
\( g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \longrightarrow(2 x+3 y, 0) . \)

Ist \( g \circ f \) injektiv? Ist \( g \circ f \) surjektiv? Ist \( f \circ g \) injektiv? Ist \( f \circ g \) surjektiv? (Bitte begründen Sie Thre Antworten!)

Aufgabe:

Answer 1

Zeige, dass f injektiv und surjektiv ist.

Injektiv etwa so:

Seien (x,y) und (a,b) ∈ R² mit f(x,y) = f(a,b) .

Folgere daraus x=a und y=b , also

(x,y) = (a,b). Also f injektiv.

Surjektiv: Sei (a,b) ∈ R² . Zeige (indem
du sie ausrechnest) , dass es x und y gibt
mit f(x,y)=(a,b).

An welcher Stelle kommst du nicht weiter. ?

Comments

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}(x+2, y, y)=(a, b) \quad a, b \in \mathbb{R}_{3}^{2} \\ (x+2 y=a, y=b) \\ (x, y)=(a-2 b, b) \\ f(a-2 b, b)=(a-2 b+2 b, b)=(a, b) \\ x \quad y=(x, y)=(a, b)\end{array} \)

So?