Die Abbildungen sollen nach Injektivität, Surjektivität und Bijektivität untersucht werden.
Wollte mal nachfragen, ob ich es so richtig verstanden hab und ob die Lösung so ausreichend ist.
Würde mich über kurzes Feedback freuen.
Text erkannt:
\( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}_{k}, n \rightarrow n+5 \bmod k \), wobei \( k \in \mathbb{N} \) beliebig.
Injektivität:
Diese Abbildung ist nicht Injektiv, da mehrere Elemente aus dem Definitionsbereich auf dasselbe Element im Wertebereich zutreffen.
Beispiel für \( k=5 \)
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline \( \boldsymbol{n} \) & \( \boldsymbol{f ( n )} \) \\
\hline 1 & 1 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline 4 & 4 \\
\hline 5 & 0 \\
\hline 6 & 1 \\
\hline 7 & 2 \\
\hline 8 & 3 \\
\hline 9 & 4 \\
\hline 10 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
Man kann sehen, dass z.B. für \( n=1 \) und \( n=6 \) derselbe Wert zutrifft.
Surjektivität:
Diese Abbildung ist nicht surjektiv, da wenn man z.B. für \( k=5 \) nimmt, kann der Wert 5 nie erreicht werden. Siehe Beispiel oben.
Bijektivität:
Diese Abbildung ist nicht injektiv und auch nicht surjektiv, somit auch nicht bijektiv.
\( g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \rightarrow 2 n-1 \)
Injektivität:
\( g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \rightarrow 2 n-1 \) ist injektiv, wenn
\( \forall n_{1}, n_{2} \in \mathbb{N}: f\left(n_{1}\right)=f\left(n_{2}\right)=>n_{1}=n_{2} \)
Z.z.: \( f\left(n_{1}\right)=f\left(n_{2}\right) \)
\( \begin{array}{ll} 2 n_{1}-1=2 n_{2}-1 & \mid+1 \\ 2 n_{1}=2 n_{2} & \mid \div 2 \\ n_{1}=n_{2} & \end{array} \)
Somit ist die Injektivität bewiesen.
Surjektivität:
Die Abbildung zeigt alle ungeraden Zahlen, die enthalten sind in den natürlichen Zahlen. Die geraden Zahlen werden nie getroffen und somit ist die Abbildung nicht surjektiv.
Bijektivität:
Diese Abbildung ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv und somit auch nicht bijektiv.
