Beweis zu Injektivität, Surjektivität oder Bijektivität

Question

Aufgabe:

h:[1,2]–>[0,51]:x–>(x^3-1)^2+1

Problem/Ansatz:

Hallo, wie geht man bei dieser Aufgabe vor, um die Fkt. auf Injektivität, Surjektivität oder Bijektivität zu beweisen? Vor allem mit dem gegebenen Wertebereich weiß ich nicht so recht wie man dies beweisen kann.

LG

Comments

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+%28x%5E3-1%29%5E2%2B1+from+1+to+2

Answer 1

Aloha :)

$$f\colon[1;2]\to[0;51]\,,\,x\mapsto f(x)=(x^3-1)^2+1$$

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \([0;51]\) mindestens 1-mal getroffen wird. Für alle \(x\in\mathbb R\), also insbesondere für den Definitionsbereich \([1;2]\), gilt jedoch:$$f(x)=\underbrace{(x^3-1)^2}_{\ge0}+1\ge1$$Der Wert \(0\) aus der Zielmenge wird daher von keinem \(x\in[1;2]\) getroffen.

Daher ist die Funktion nicht surjektiv.

Eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.

Da die Funktion \(f\) nicht surjektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.

Injektiv bedeutet, dass jedes Element aus der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.

Zur Entscheidung darüber untersuchen wir die Ableitung der Funktion:$$f'(x)=2(x^3-1)\cdot3x^2=6x^2(x^3-1)$$Für \(x\in(1;2)\) ist \(f'(x)>0\), sodass die Funktion im Definitionsbereich streng monoton wächst. Daher wird kein Funktionswert zwischen \(f(1)\) und \(f(2)\) zwei Mal getroffen. Wegen \(f(1)=1\) und \(f(2)=50\) liegen alle Funktionswerte im Wertebereich \([0;51]\) der Funktion.

Die Funktion \(f\) ist daher injektiv.

Answer 2

Zeige für die Injektivität für alle beliebigen x und y aus dem Definitionsbereich, dass wenn f(x)=f(y) gilt, dann x=y herauskommt.

Also f(x)=f(y) setzen, also

(x^3-1)^2+1=(y^3-1)^2+1 setzen und dann so umstellen, dass am Ende  x= y steht

Für die Surjektivität zeige, dass es ein beliebiges a gibt, mit der gilt f(x)=a, also die Funktion gleich a setzen und nach x umstellen, um eine Lösung des Gleichungssystem f(x)=a zu bekommen.

Ich komme auf x=(sqrt(x-1)+1)^1/3.

Wertebereich ist hier eingeschränkt, damit die Injekt-/Surjekt-/Bijektivität bewiesen werden kann, weil Injektivität bedeutet, dass jeder y-Wert nur maximal einmal getroffen wird (z.B. im Fall von f(-1)=f(1) wäre das nicht der Fall) und Surjektivität dass jeder y-Wert mindestens einmal getroffen wird und Bijektivität genau einmal.

Keine Garantie