Injektivität , Surjektivität und Bijektivität

Question

Es sei f : ℝ→ ℝ definiert durch

f(x) ={x ,  falls x ≥ 0,

       {–1/2x , falls x < 0.

Untersuchen Sie für die folgenden Mengen A, B jeweils, ob die Funktion g : A → B, g(x) = f(x), injektiv,surjektiv und bijektiv ist:

(i) A=B=[0,1],

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bitte diese Aufgabe erklären. Bin am Verzweifeln.

Answer 1

Hallo,

wegen A=B=[0,1] gilt    g: [0,1] → [0,1] , g(x) = x für alle x∈D_g

Damit sind je zwei Funktionswerte von g verschieden und jedes Element aus B = [0,1]  ist Funktionswert eines Urbildes in A = [0,1].

g Ist also sowohl injektiv als auch surjektiv und damit bijektiv.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Du musst überprüfen ob 2 Elemente aus dem Definitionsbereich auf das gleiche Element im Wertebereich abgebildet werden, wenn ja ist die Fkt nicht injektiv. Gibt es keine 2 solche Elemente ist die Fkt. injektiv.

Für surjektiv guckst du ob jedes Element im Wertebereich deiner Fkt. getroffen wird. Wenn ja surjektiv, wenn nein nicht surjektiv.

Ist die Fkt. sowohl injektiv, als auch surjektiv dann ist sie auch bijektiv.