Lineare Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn A surjektiv ist

Question

Beweisen oder widerlegen Sie:

Eine lineare Abbildung A∈End(V) ist genau dann invertierbar wenn A surjektiv ist

Die Aussage sollte ja falsch sein, weil eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn sie bijektiv ist. Kann mir jemand dazu ein Gegenbeispiel zeigen?

Answer 1

Eine lineare Abildung ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt.

Was muss bei einem Endomorphismus für die Bilder der Basisvektoren gelten, damit der Endomrphismus surjektiv ist?

Umgekehrt gibt es zu jeder Basis (b₁, ..., b_n) von V und beliebigen Vektoren v₁, ..., v_n ∈ V eine lineare Abbildung, die jedes b_i auf das entsprechende v_i abbildet.

Die Aussage sollte ja falsch sein, weil eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn sie bijektiv ist.

Die Aussage ist nicht falsch. A ist bijektiv, wenn A surjektiv ist.