Antwort mit KI erzeugt
Unendlichkeit und Abbildungen: Zeigen Sie, dass f genau dann bijektiv ist, wenn f invertierbar ist.
Teil (a): Die Abbildung \(f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, x \mapsto 2x\)
(i) Existiert eine Abbildung \(g : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) mit \(g \circ f = id_{\mathbb{Z}}\)?
Ja, eine solche Abbildung \(g\) existiert. Da \(f(x) = 2x\), brauchen wir eine Funktion \(g\), für die gilt: \(g(f(x)) = g(2x) = x\). Die Funktion, die \(2x\) auf \(x\) abbildet, ist \(g(x) = \frac{x}{2}\).
Allerdings, wenn \(g : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\), ist die Funktion \(g(x) = \frac{x}{2}\) nicht für alle \(x \in \mathbb{Z}\) wohldefiniert, da die Division durch \(2\) nicht notwendigerweise ein Element in \(\mathbb{Z}\) ergibt, es sei denn, \(x\) ist gerade.
In diesem spezifischen Kontext jedoch, da das Bild von \(f\) nur gerade Zahlen umfassen kann (weil jede Zahl mit \(2\) multipliziert wird), könnte man argumentieren, dass für das Bild der Funktion \(f\), die Inverse \(g(x) = \frac{x}{2}\) für alle \(x\) in dem Bild wohldefiniert ist und damit ganz \(\mathbb{Z}\) für die Bildmenge von \(f\) zurückgibt. Jedoch ist dies im strengen Sinne keine Funktion von \(\mathbb{Z}\) auf \(\mathbb{Z}\), die für
alle ganzen Zahlen gilt, sondern nur für diejenigen im Bild von \(f\). Somit ist die Funktion \(g\) als \(g(x) = x / 2\) nicht für eine beliebige ganze Zahl im herkömmlichen Sinne definiert und daher keine vollständige Antwort im Kontext der Frage.
(ii) Existiert eine Abbildung \(g : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) mit \(f \circ g = id_{\mathbb{Z}}\)?
Ja, für die Identitätsfunktion \(id_{\mathbb{Z}}\) muss gelten: \(f(g(x)) = 2g(x) = x\). Lösen wir nach \(g(x)\) auf, erhalten wir \(g(x) = \frac{x}{2}\). Wie jedoch bereits diskutiert, erzeugt eine solche Funktion Probleme, wenn \(x\) eine ungerade Zahl ist, da sie dann kein Element von \(\mathbb{Z}\) wäre.
Eine korrektere Interpretation ist, dass in dieser Richtung \(f \circ g = id_{\mathbb{Z}}\) keine Funktion \(g\) von \(\mathbb{Z}\) zu \(\mathbb{Z}\) gefunden werden kann, die diese Bedingung erfüllt, da die Multiplikation mit \(2\) und dann die Division durch \(2\) nicht notwendigerweise den ursprünglichen ungeraden Wert für alle \(x\) in \(\mathbb{Z}\) liefert.
Teil (b): Abbildung zwischen endlichen Mengen X und Y mit \(|X| = |Y|\)
Eine Funktion \(f : X \rightarrow Y\) zwischen zwei endlichen Mengen X und Y mit gleicher Mächtigkeit ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist.
Beweis:
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Injektivität zu Surjektivität: Angenommen \(f\) ist injektiv. Dann hat jedes Element in \(Y\) höchstens ein Urbild in \(X\). Weil \(|X| = |Y|\), muss jedes Element in \(Y\) genau ein Urbild in \(X\) haben, damit alle Elemente in \(X\) abgebildet werden können. Daher ist \(f\) auch surjektiv.
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Surjektivität zu Injektivität: Angenommen \(f\) ist surjektiv. Dann hat jedes Element in \(Y\) mindestens ein Urbild in \(X\). Weil \(|X| = |Y|\), muss jedes Element in \(Y\) genau ein Urbild in \(X\) haben, um alle Elemente in \(X\) "zu verbrauchen". Daher ist \(f\) auch injektiv.
Teil (c): Bijektivität und Invertierbarkeit
Eine Funktion \(f : X \rightarrow Y\) ist genau dann bijektiv, wenn sie invertierbar ist.
Beweis:
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Bijektivität zu Invertierbarkeit: Eine Funktion \(f\) ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv (jedes Element in \(Y\) hat höchstens ein Urbild in \(X\)) als auch surjektiv ist (jedes Element in \(Y\) hat mindestens ein Urbild in \(X\)). Für eine bijektive Funktion kann daher eine Inverse Funktion \(f^{-1} : Y \rightarrow X\) definiert werden, die jedem Element in \(Y\) sein eindeutiges Urbild in \(X\) zuweist. Daher ist \(f\) invertierbar.
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Invertierbarkeit zu Bijektivität: Wenn eine Funktion \(f\) eine Inverse \(f^{-1}\) hat, bedeutet dies, dass es eine Funktion \(f^{-1} : Y \rightarrow X\) gibt, für die \(f(f^{-1}(y)) = y\) für alle \(y \in Y\) und \(f^{-1}(f(x)) = x\) für alle \(x \in X\). Dies bedeutet, dass \(f\) sowohl surjektiv als auch injektiv ist und somit bijektiv.
Diese Beweisführung zeigt klar, dass eine Funktion genau dann bijektiv, also eine eineindeutige Zuordnung ist, wenn sie invertierbar ist, was bedeutet, dass eine Umkehrfunktion existiert, die die Elemente von \(Y\) zurück nach \(X\) abbildet.
