Zeige wenn f: A → bild(f) injektiv ist, dann auch bijektiv.

Question

Ich muss hier etwas in der Mengenlehre zeigen:

Es sei \( f: A \rightarrow \) bild \( (f) \) injektiv. Zeige dass \( f \) bijektiv ist.

Answer 1

Aus der Definition des Bildes einer Funktion geht hervor, dass \(f\) surjektiv ist.

Einfach die Definition des Bildes einer Funktion mit der Definition von Surjektivität vergleichen.

Answer 2

Definitionen die du kennen solltest:

• Zu einer Funktion f : A → B ist bild(f) = {b ∈ B | ∃ a ∈ A : f(a) = b}
• Eine Funktion f : A → B heißt surjektiv, wenn bild(f) = B ist.
  
• Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Laut Voraussetzung ist f injektiv. Ebenso laut Voraussetzung ist bild(f) = B, also ist f surjektiv. Nach Definition ist f dann auch bijektiv.