Zeige oder widerlege, dass wenn f nicht surjektiv und g nicht injektiv ist, dass g°f nicht bijektiv ist.

Question

Aufgabe:

Es sei gegeben \(f:\space A\to B\) und \(g:\space B\to C\) und die Komposition aus beiden

\(g\circ f:\space A\to C\).

Zeige oder widerlege, dass wenn \(f\) nicht surjektiv und \(g\) nicht injektiv ist, dass \(g\circ f\) nicht bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

Ich finde leider keine eindeutige Lösung zu dieser Aufgabe. So weit ich es verstehe, bedeutet nicht surjektiv, dass es mindestens ein Element b aus B gibt, bei dem für alle Elemente a aus A gilt f(a)≠b.

Desweiteren bedeutet doch nicht injektiv, dass es mindestens zwei b aus B gibt, die nicht gleich sind, aber dennoch auf denselben Funktionswert verweisen.

Wie kann ich jetzt allerdings lückenlos beweisen, dass es nicht bijektiv ist bzw. dass es bijektiv ist??

Freue mich über jede Hilfe, vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Betrachte  f : ℕ\{0} → ℤ mit f(n)=-n/2 wenn n gerade

                                         und =(n+1)/2  wenn n ungerade  .

ist nicht surjektiv, da 0 kein Funktionswert ist.

Und g : ℤ → ℕ\{0} mit

 g(0) = 1 und   g(n) = |n| ist nicht injektiv , aber die

Verkettung ist Identität eingeschränkt auf ℕ\{0},

also doch bijektiv.

Comments

Vielen Dank für dein Beispiel, das hilft mir zumindest zu verstehen, dass die Aussage bestätigt werden muss.

Allerdings wie kann ich dies formal und nicht nur für ein Beispiel darlegen?

Ich weiß nicht, wie ich das allgemein bestätigen soll (oder gilt es nicht allgemein?).

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Meine Funktionen ergeben doch ein Gegenbeispiel.

Die Aussage ist halt falsch.