Du musst ja zeigen: Zu jedem y∈B gibt es genau ein x∈A mit g(y)=x.
Sei also y∈B . Da f surjektiv ist, gibt es ein x∈A mit f(x)=y.
Sei x' ∈A auch ein Element von A mit f(x')=y, dann gilt , da f injektiv ist.
x = x'. Somit gibt es genau ein x∈A mit f(x) = y .
Definiere dieses als g(y). Dann ist g die gesuchte Abbildung.
Beweise nun f ° g = idB und g ° f = idA. etwa so:
Sei y∈B. ==> (f ° g)(y) = f( g(y)) = f(x) [mit f(x)=y] also = y
Da (f ° g)(y) = y für alle y∈B , ist also f ° g = idB .
Entsprechend g ° f = idA.