Wenn f bijektiv ist, dann besitzt f eine Umkehrabbildung.

Question

Aufgabe:

Hey Leute kann mir jemand bei folgendem Beweis helfen?

Sei f : A -> B eine Abbildung.

Wenn f bijektiv ist, besitzt f eine Umkehrabbildung, sodass gilt f ° g = id_B und g ° f = id_A.

Danke schon mal :D

Answer 1

Du musst ja zeigen: Zu jedem y∈B gibt es genau ein x∈A mit g(y)=x.

Sei also y∈B . Da f surjektiv ist, gibt es ein x∈A mit f(x)=y.

Sei x' ∈A auch ein Element von A mit f(x')=y, dann gilt , da f injektiv ist.

x = x'. Somit gibt es genau ein x∈A mit f(x) = y .

Definiere dieses als g(y). Dann ist g die gesuchte Abbildung.

Beweise nun f ° g = id_B und g ° f = id_A. etwa so:

Sei y∈B. ==> (f ° g)(y) = f( g(y)) = f(x)  [mit f(x)=y] also = y

Da (f ° g)(y) = y für alle y∈B , ist also   f ° g = id_B .

Entsprechend g ° f = id_A.

Answer 2

Wenn \(f\) bijektiv ist, dann ist die Relation \(f\subseteq A\times B\)

linkseindeutig, da injektiv, und rechtstotal, da surjektiv.

Folglich ist die Relation \(g=f^{-1}\subseteq B\times A\) linkstotal und rechtseindeutig,

also eine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften.