Bestimmen Sie die Umkehrabbildung f^-1 von f.

Question

Aufgabe:

Sei f(x) = (2x+5)/(x+2) auf ℝ\(-2) defniert. a) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung f^-1 von f. Welchen Defnitionsbereich hat f^-1? b) Berechnen Sie zur Probe (f ° f^-1)(y). c) Ist f auf ]-2;∞ [ monoton wachsend oder fallend? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der Definition.

Problem/Ansatz:

Wo ist mein Fehler?

oder muss ich nach y auflösen?

Text erkannt:

3. Aufgabe: Sei \( f(x)=\frac{2 x+5}{x+2} \) auf \( \mathbb{R} \backslash\{-2\} \) definiert.
a) Umkehrabbildung von \( f^{-1} \) von \( f \).
Welchen Definitionsboreich hat \( f^{-1} \) ?
\( \begin{array}{l} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{2 x+5}{x+2} \\ y=f(x)=\frac{2 x+5}{x+2} \quad \mid y=f(x) \text { nach } x \text { auflöse } \\ x=\frac{5-2 y}{y-2} \\ \Rightarrow f^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text {, durch } f^{-1}(y)=\frac{5-2 y}{y-2} \\ \text { Definitionsbereich: }\{y \in \mathbb{R}: y \neq z\} \\ \end{array} \)
b) Probe:
\( \left(f \circ f^{-1}\right)=f\left(f^{-1}(y)\right)=f\left(\frac{5-2 y}{y-2}\right)= \)

Answer 1

Da ist kein Fehler, es ist alles richtig. Wenn Dir die Probe merkwürdig vorkommt, rechne einfach weiter. Das ist eine Übung in Bruchrechnung, aber am Ende sollte einfach x rauskommen.

PS: Schreib nicht \(f:\R\longrightarrow\R\), wenn der Definitionsbereich von \(f\) gar nichf \(\R\) ist. Genauso für \(f^{-1}\).

Answer 2

Aloha :)

Zur Bildung der Umkehrfunktion vertausche \(x\) und \(y\) und löse nach \(y\) auf.

Dazu solltest du die Funktion vorher vereinfachen:$$y=f(x)=\frac{2x+5}{x+2}=\frac{2(x+2)+1}{x+2}=2+\frac{1}{x+2}$$

Jetzt vertauschst du \(x\) und \(y\) und löst nach \(y\) auf:$$x=2+\frac{1}{y+2}\implies x-2=\frac{1}{y+2}\implies\frac{1}{x-2}=y+2\implies y=\frac{1}{x-2}-2$$

Das entspricht deinem Ergebnis.

Allerdings fehlt bei dir der Rechenweg, wie du die Gleichung umgestellt hast.