Bijektivität und Umkehrabbildung bei ℝxℝ ->ℝxℝ

Question

Aufgabe:

Seien α,β,γ,δ ∈ ℝ

f: ℝxℝ → ℝxℝ, (x,y) ↦ (αx + βy, γx + δy)

a) Entscheiden sie unter welchen Bedingungen an α,β,γ,δ die Abb. f bijektiv ist.

b) Geben sie die Umkehrabbildung f^-1 von f an, wenn f bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

a) Bijektivität = surjektivität ( ∀y∈ℝ existiert ein x∈ℝ mit f(x)=y) + injektivität ( ∀x,y∈ℝ mit x≠y gilt f(x)≠f(y))

Wie wende ich diese Definitionen auf f an? Ich bin mir unsicher aufgrund des (x,y)↦ (Zuvor hatte ich nur Abbildungen mit bspw. g:ℝ→ℝ, x↦x-3)

b) Wie finde ich eine Umkehrabbildung?

Ich hoffe ihr könnt mir mit ein paar kleinen Tipps auf den Weg zur Lösung helfen.

Answer 1

Fang mit b) an:

Suche  x,y  wenn u,v gegeben sind und es soll gelten

f(x,y) = (u,v)

also  ax + by = u  und   cx + dy=v

nach x,y auflösen gibt

x = (d*u-b*v)/(ad-bc)  und  y = (-c*u+a*v)/(ad-bc)

einzige Voraussetzung ad-bc≠0.

Damit hast du die Umkehrabbildung. Und unter der

Voraussetzung ad-bc≠0 zeigst du auch die Bijektivität von f.