lineare Abbildung mit Standardmatrix mat(T) = (1,2 ; 3,5 ). Bijektiv? Umkehrabbildung

Question

Wir betrachten die lineare Abbildung T: ℝ²-->ℝ² mit Standardmatrix mat (T) = (1,2 ; 3,5 ).

a) Begründen sie kurz, warum T bijektiv ist.

b) Lösen sie die Matrix-Vektor-Gleichungen Ax = e₁ und Ax = e₂.

c) Geben sie die Standardmatrix mat (S) der Umkehrabbildung S: ℝ²-->ℝ² von T an.

Answer 1

a) det ( T ) = 1*5 - 3*3 = -1 ≠ 0 also bijektiv

b) A*x= e1    x = A-1 * e1 = ( -5 ; 3 ) ^T 

A*x= e2    x = A-1 * e2 = ( 2 ; -1 ) ^T 

c)  A^-1 =  [ -5 2 ; 3 -1 ]