Standardmatrix von T bestimmen, wenn T^2(e1) = -e1 + e2 und ...

Question

Von einer linearen Abbildung T: ℝ²-->ℝ² ist bekannt, dass T(e₁)= e₁ + 3e₂ und T²(e₁) = -e₁ + e₂ (hierbei ist T² = T• T ). Bestimmen sie die Standardmatrix von T.

Comments

Ich nehme einfach mal an, T soll die Abbildungsmatrix der Abbildung in Standardbasis sein. 

T(e₁)= e₁ + 3e₂

Das sagt doch schon mal, dass in der ersten Spalte von T der Vektor (1, 3)^t steht. (ODER?)

 und T²(e₁) = -e₁ + e₂ (hierbei ist T² = T• T ).

In der ersten Spalte von T^2 steht dementsprechend der Vektor (-1, 1).

Nun setze an:

T = ((1 , a), (3,b))

Berechnet T*T und benutze (-1, 1) um 2 Gleichungen für a und b zu bestimmen.

So würde ich das mal versuchen, wenn ich nicht bei euch in der Vorlesung gewesen wäre. 

Answer 1

Ich nenn die Matrix auch T:

T =

1  a
3  b

T^2 =

3a+1    a(b+1)
3b +3   3a+b^2

T^2 * (1  )     =
         (  0 )

(  3a+1 )
(  3b+3 )

also

3a+1 = -1   und  3b+3 = 1

a= -2/3     b = -2 / 3

Also T =

1    -2/3
3   -2/3