Integralvergleich Fehlerabschätzung

Question

Ich habe folgende Aufgabe, bei der man den Fehler abschätzen soll, für größer und kleiner von

$$ |<| \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{8 n}{\left(n^{2}+2\right)^{3}}-\sum \limits_{n=1}^{5} \frac{8 n}{\left(n^{2}+2\right)^{3}} |< $$

Mit dem Integralvergleich ist es möglich, eine unendliche Reihe abzuschätzen. Gleichzeitig ist es damit möglich, den Fehler, der durch die Verwendung einer endlichen Anzahl von Reihengliedern entsteht, abzuschätzen. Schätzen Sie den Fehler ab, den man macht, wenn man folgende unendliche Reihe durch die Summe der ersten 5 Folgeglieder annähert: \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{8 n}{\left(n^{2}+2\right)^{3}} \) Symbolische Eingabe als Bruch, Beachten Sie: der Fehler entsteht ab dem 6 -ten Reihenglied!
$$ |<| \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{8 n}{\left(n^{2}+2\right)^{3}}-\sum \limits_{n=1}^{5} \frac{8 n}{\left(n^{2}+2\right)^{3}} |< $$

Answer 1

Nach dem Integralkriterium gilt$$\sum_{n=6}^\infty\frac{8n}{(n^2+2)^3}\le\int_5^\infty\frac{8x}{(x^2+2)^3}\,\mathrm dx=\frac{-2}{(x^2+2)^2}\Bigg\vert_5^\infty=\frac2{729}.$$