Fehlerabschätzung - Cosinus Taylopolynom

Question

ich habe hier folgende Aufgabe und weiß nicht wie ich die angehen kann:

Ist die Fehlerabschätzung korrekt?

$$ \left|\cos(1) - \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24}\right)\right| \leq \frac{1}{500} $$

Begründen Sie Ihre Antwort.

Mein Ansatz wäre dass $$  \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24}\right)   =   \frac{13}{24}\ $$ ist und ich weiß dass cos(1) ~ 0,5 ist. Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich zeigen kann, dass die Differenz kleiner gleich 1/500 ist.
Bei der Formel für die Fehlerabschätzung ist aber auch wieder ein sin(1) dabei, wovon ich den genauen Wert ohne Taschenrechner nicht bestimmen kann.

Übersehe ich hier etwas oder gibt es einen ganz anderen Ansatz?

Answer 1

Hallo :-)

Ich nehme mal an, dass du den Cosinus \(f(x)=\cos(x)\) mithilfe des Taylorpolynoms \(T_4\) von vierter Ordnung an der Stelle \(x=1\) annähern willst. Hierbei benutzt man die Entwicklungsstelle \(x_0=0\). Zunächst ist also \(\cos(x)=T_4(x)+R_4(x)\), wobei \(R_4\) hier der Restterm (Fehlerterm, Korrekturterm,...) ist. \(R_4\) wird oft auch als Fehler interpretiert, den man im Allgemeinen nur schätzen kann. Allgemein kann dieser zum Beispiel nach Lagrange umschrieben werden $$ R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}\cdot f^{n+1}(\xi)\cdot (x-x_0)^{n+1}, $$ wobei hier konkret gilt: \(n=4,x_0=0\) und \(\xi\) zwischen \(x_0\) und \(x\) liegt.

Der betragsmäßige Fehler lautet also nun nachoben geschätzt

$$ |f(x)-T_4|=|R_4(x)|=\left |\frac{1}{(4+1)!}\cdot f^{4+1}(\xi)\cdot (x-0)^{4+1}\right |=\left | \frac{1}{120}\cdot \sin(\xi)\cdot x^5\right |\leq \frac{1}{120}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{120}<\frac{1}{100}=0.01 $$

Aber wo hast du die \(\frac{1}{500}\) her?

Comments

Weil die 5. Ableitung der sin ist und sin(0)=0 ist, ist die Näherung tatsächlich T_5 und man kann die Abschätzung mit n=5 nehmen.

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Danke für die Antwort, das hat mir geholfen, ich hatte wohl das Restglied nach Lagrange nicht ganz verstanden, weil ich dachte man muss in den Sinus (n+1te Ableitung) wieder x=1 einsetzen und ich dann wieder das Problem hatte den Wert davon nicht ausrechnen zu können.

Die 1/500 waren in der Aufgabe wie sie da steht gegeben, damit daraus eine "Stimmt oder Stimmt nicht"-Frage wird