Aussage über den maximalen Approximationsfehler treffen mit Restglied

Question

Hat jemand eine Idee wie man die b)löst, bin leider sehr überforder und verstehe diese Aufgabe nicht.

Wenn ich wüsste was ich überhaupt tun sollte

Answer 1

Rauskommen muss offensichtlich für die Taylorentwicklung:
$$x_1x_2=((x_1-1)+1)((x_2-1)+1)=1+(x_1-1)+(x_2-1)+(x_1-1)(x_2-1)$$ Fuer die lineare Approximation faellt der Term zweiter Ordnung weg.

Comments

danke, aber warum fällt der Term weg?

vielleicht weißt du was mit R^2 -> R gemeint ist?

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Eine lineare Approximation zeichnet sich gerade dadurch aus, dass man alle Terme ab der zweiten Ordnung streicht -- das sind gerade die nichtlinearen.

Ist das mit "was mit R² -> R gemeint ist" Dein Ernst? Die Funktion f bildet Punkte (x₁,x₂) aus der Ebene R² auf reelle Zahlen ab.

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okay danke, ja das mit den R^2 -> R wusste ich auch, wollte nur wissen ob da vielleicht noch etwas anderes hinter steckt, ist schon länger her.

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f : R^2 -> R, (x1,x2) ↦ x1x2

definiert die Funktion mit dem Namen f. Lies:

Die Funktion f ordnet jedem Element des Definitionsbereichs R^2 ein Element des Wertebereichs R, nach der Vorschrift, dass geordneten Paaren von reellen Zahlen das Produkt der beiden Komponenten zugeordnet wird.

EDIT: Der Beantworter der Frage war viel schneller. Habe nichts einzuwenden. Hier dafür noch eine Illustration.

Du sollst an diese gebogene Fläche an der Stelle (1,1,1) etwas Lineares anlege. Das dürfte eine wohl Tangentialebene sein.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29+%3D+x*y

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Hey Lu, könntest du vielleicht etwas ausführlicher schreiben, wie man auf das Ergebnis kommt?

Ich bin ansich nah dran, aber irgendwas mach ich jedes mal falsch, ich weiß nicht woran es liegt

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HIer siehst du mal die die Formeln bei reellen Funktionen umgesetzt werden: https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#N.C3.A4herungsformeln_f.C3.BCr_Sinus_und_Kosinus

Weiter unten findest du dann die Formeln für den mehrdimensionalen Fall.

f(x,y) = xy

Erste partielle Ableitungen

df(x,y)/dx = y               | Schreibe runde d !

df(x,y)/dy = x

usw.

Answer 2

Einsetzen und ausrechnen. f ist gegeben, x₀ ist gegeben und p ist =1. Rauskommen soll \(R=(x_1-1)(x_2-1)=h_1h_2\). Siehe die Ad-hoc-Rechnung zu Deiner Frage unten.

Comments

es stimmt das h1h2 rauskommen soll, nur wie kommt man darauf

ich weiß nicht was diese Bedeuten sollen:

<(h,gradient)>

sowie f(x0+sh)*ds

da ich die beiden nicht verstehe kann ich das schlecht verrechenen, was meinst du mit Ad-hoc- Rechnung ?

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Es ist \(h=(h_1,h_2)\) und \(\nabla=(D_1,D_2)\), also \(\langle h,\nabla\rangle=h_1D_1+h_2D_2\) und folglich \(\langle h,\nabla\rangle f=h_1D_1f+h_2D_2f\).

Weiter \(\langle h,\nabla\rangle)^2 f=h_1^2D_1^2f+2h_1h_2D_1D_2f+h_2^2D_2^2f\), etc.

Wo hast Du die Aufgabe eigentlich her? Du klingst, als haettest Du von Analysis in mehreren Dimensionen noch nie was gehoert.

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ja diese Aufgabe hat mir Probleme bereitet bzw. das Thema.

Wenn du deinen Rechenweg etwas ausführlicher schreiben könntest bei der ersten Antwort würde mir das helfen.