Satz von Taylor mit Taylorpolynom und Restglied von cos(x) 3.Grades und Fehlerabschätzung / Näherung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das 3te Taylorpolynom P3(x) und das zugehörige Restglied R3(x) mit Entwicklungspunkt a = 0.

Bestimmen Sie die Näherung P3(x) und eine Abschätzung für den Fehler |R3(x)| für x = 0.01.

Nutzen Sie P3(x) um eine Näherung an 0.1 cos(x)dx und R3(x) um den Fehler |\( \int\limits_{0}^{0,1} \) cos(x)dx − \( \int\limits_{0}^{0,1} \) P₃(x)dx | zu bestimmen

Problem/Ansatz:

Hier mal meine Berechnungen soweit:

Taylor-Entwicklung: f(x) = cos(x), x0 = 0

f(x) = cos(x)
f'(x) = - sin(x)
f''(x) = - cos(x)
f'''(x) = sin(x)
0+(−sin0)·(x−0)+( −cos/2)·(x−0)^2 +sin(0/6) ·(x−0)^3

Taylor-Polynom

T(x) = f(x0)/0! + f'(x0)/1!·x + f''(x0)/2!·x2 + f'''(x0)/3!·x3
T(x) = (cos(0))/1 + (- sin(0))/1·x + (- cos(0))/2·x2 + (sin(0))/6·x3
T(x) = 1 - x2/2

Weiter komme Ich nicht....

Answer 1

Hallo

P3 ist richtig, kennst du die Fehlerformel nicht?

$$R_n f(x; a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

bei dir a=0  x=0,1

einsetzen und das max  von f(4)(ζ) in dem Intervall einsetzen.

die beiden Integrale auszurechnen kannst du ja wohl ?

also einfach nur weiter rechnen, und natürlich die x_0=0,1 einsetzen,

Gruß lul

Comments

Hey Lul,

danke für den Hinweis, die Fehlerformel ist mir recht neu.

Aber ist es richtig dass ich für R₃ dann nur n=3 und a=0 und x=0,1 bzw. bei b x=0,01 einsetze ?

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Hallo

ja, du misst natürlich f^IV einsetzen,

und für f(xi) das max in dem Intervall 0 bis x-

lul