Aufgabe:
Es geht um die Gaußschen Zahlen.
Hierbei wird ℤ[i] := {a + ib ∈ ℂ | a,b ∈ ℤ} definiert.
Zuerst sollte bewiesen/ geprüft werden, ob ℤ[i] ein Unterring von ℂ sei.
Weiterhin sollte gezeigt werden, ob eine Zahl z ∈ ℤ[i] eine Einheit in ℤ[i] sei (invertierbar bzgl. der Mult.), wenn ||z|| = 1 ist.
(Und dann noch die Anzahl der Einheiten zu bestimmen.)
(Betrag von z = x + iy definiert als:
||z|| := \( \sqrt{x^{2}+y^{2}} \) ∈ ℝ)
Problem/Ansatz:
Das Problem liegt nicht beim Beweis, dass ℤ[i] ein Unterring sei oder beim Verständnis/ der Bestimmung der Einheiten von ℤ[i].
Es ist mehr der Beweis, dass z invertierbar ist, falls ||z|| = 1 sei.
Mit Hilfe unserer Übungsgruppe und selbst überlegen bin ich bisher auf den folgenden Ansatz gekommen:
Wir sollen beweisen, dass für ein a + ib (= z ∈ ℤ[i]) ein c + id existiert, sodass (a + ib)(c + id) = 1 existiert, iff a2 + b2 = 1
(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + (ad +bc)*i,
mit: (ac - bd) = 1 und (ad +bc)i = 0
Dabei dachte ich dann auch direkt an z*z' (z invers) = 1
Jedoch kann ich da nicht ganz die Verbindung schließen/ beweisen von ||z|| = 1 und z*z'=1
Jegliche Ansätze/ Fortführungen sind gerne erwünscht!
