zeigen, dass B genau dann positiv definit ist, wenn B invertierbar ist.

Question

Aufgabe:

Sei n∈ℕ und A∈ℂ^nxn. Zudem ist B:=A*A. (A* ist A transponiert und konjugiert)

Ich habe bereits gezeigt, dass B dann selbstadjungiert ist.

Nun soll ich noch zeigen, dass B genau dann positiv definit ist, wenn B invertierbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine richtige Idee, wie ich das zeigen kann. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke

Answer 1

Da B selbstadjungiert ist, gibt es nach dem Spektralsatz eine uniträre Matrix U sodass \( \mathbf{B}=\mathbf{U}^{\mathrm{H}} \) DU gilt, wobei \( \mathbf{D}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right) \) die Eigenwerte von \( \mathbf{B} \) auf der Diagonalen hat. Nun ist B genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind (man erinnere sich, dass selbst die Eigenwerte komplexen selbstadjungierten Matrix alle reell sind). Ist also B invertierbar, so gilt
\( \operatorname{det}(\mathbf{B}) \neq 0 \Longleftrightarrow \prod \limits_{k=1}^{n} \lambda_{k} \neq 0 \Longleftrightarrow \forall k \in[n]: \lambda_{k} \neq 0 . \)
Es bleibt also lediglich noch zu zeigen, dass alle Eigenwerte von \( A^{H} A \) nicht negative sind. Ist nämlich \( \lambda \in \mathbb{R} \) ein Eigenwert von \( A^{H} A \) mit dazugehörigem Eigenvektor \( v \), so gilt
\( \lambda\langle v, v\rangle=\left\langle A^{H} A v, v\right\rangle=\langle A v, A v\rangle \geqslant 0 \Longrightarrow \lambda \geqslant 0 \)