Wie zeige ich, dass die Matrix M positiv definit ist? M={{a,b},{b,d}} , wenn a>0 und det(M)>0.

Question

M={{a,b},{b,d}} ich soll zeigen dass M positiv definit ist, wenn a > 0 und det M >0 ist als Tipp ist quadratisch Ergänzung angegeben. Ich weiß jetzt nur nicht wie ich das mit der Quadratischen Ergänzung machen soll. Meine Überlegung ist M zu quadrieren. Ein Ansatz sollte erstmal reichen denk ich.

Comments

Quatsch M quadrieren. Du sollst die quadratische Form zu M hinschreiben und die dann mit quadratischer Ergaenzung so behandeln, dass man an a und det M die Sache ablesen kann.

Answer 1

Hi,

die Matrix \( M \) ist positiv definit wenn für alle \( z \in \mathbb{R}^2 \) gilt
$$ z^T \cdot M \cdot z > 0 $$
Mit \(  z = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) folgt
$$ z^T \cdot M \cdot z = ax^2 + 2bxy + dy^2 = ax^2 +2bxy + \frac{b^2}{a}y^2 + y^2\left(d-\frac{b^2}{a} \right) = \left(\sqrt{a}x+\frac{b}{\sqrt{a}}y\right)^2 + y^2\left(\frac{\det M}{a}\right) > 0  $$

Comments

Kurze Verständnisfrage: Wie bist du auf die Gleichung nach ax²+2bxy+dy² gekommen?

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Das ist gerade die quadratische Ergänzung.