Für jedes \(z\in\mathbb{C}\) gilt nach Definition:\[\exp\left(z\right) = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{z^k}{k!}\]
Für jedes \(z\in\mathbb{C}\) erhält man mit Dreiecksungleichung:\[\begin{aligned}\left\lvert\exp\left(z\right) - 1\right\rvert &= \left\lvert 1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{z^k}{k!} - 1\right\rvert = \left\lvert \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{z^k}{k!}\right\rvert\leq \sum_{k = 1}^{\infty}\left\lvert\frac{z^k}{k!}\right\rvert = \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{{\left\lvert z\right\rvert}^k}{k!} \\ & =-1 + 1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{{\left\lvert z\right\rvert}^k}{k!} = -1 + \exp\left(\left\lvert z\right\rvert\right) = \exp\left(\left\lvert z\right\rvert\right) - 1\end{aligned}\]
Dies zeigt die linke Ungleichung.
Für jedes \(z\in\mathbb{C}\) erhält man:\[\begin{aligned}\exp\left(\left\lvert z\right\rvert\right) - 1 &= 1 + \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{{\left\lvert z\right\rvert}^k}{k!} - 1 = \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{{\left\lvert z\right\rvert}^k}{k!} = \frac{{\left\lvert z\right\rvert}^1}{1!} + \sum_{k = 2}^{\infty}\frac{{\left\lvert z\right\rvert}^k}{k!} \\ & = \left\lvert z\right\rvert + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{\left\lvert z\right\rvert}^{n+1}}{(n+1)!}\leq \left\lvert z\right\rvert + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{\left\lvert z\right\rvert}^{n+1}}{n!} \\ & = \left\lvert z\right\rvert\cdot\left( 1 + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{\left\lvert z\right\rvert}^{n}}{n!}\right) = \left\lvert z\right\rvert\cdot\exp\left(\left\lvert z\right\rvert\right)\end{aligned}\]
Dies zeigt die rechte Ungleichung.
