Question

Für welche x ∈ R sind die folgenden Ungleichungen gleichzeitig erfüllt:

log10  x²+4/ x²+1 ≤ 1

−x² + 6x − 5 ≥ 0;

Re[(sinx + i cosx)(sinx − i cosx)] ≤ 2

Answer 1

LOG((x^2 + 4)/(x^2 + 1), 10) ≤ 1
LN((x^2 + 4)/(x^2 + 1)) / LN(10) ≤ 1
LN((x^2 + 4)/(x^2 + 1)) ≤ LN(10)
(x^2 + 4)/(x^2 + 1) ≤ 10
1 + 3/(x^2 + 1) ≤ 10
3/(x^2 + 1) <= 1.5
Damit ist die Gleichung offensichtlich immer erfüllt.

- x^2 + 6·x - 5 ≥ 0
1 ≤ x ≤ 5

(SIN(x) + i·COS(x))·(SIN(x) - i·COS(x)) ≤ 2
SIN(x)^2 - i^2·COS(x)^2 ≤ 2
SIN(x)^2 + COS(x)^2 ≤ 2
1 ≤ 2
Damit ist auch diese Gleichung immer erfüllt.

Für die Werte 1 ≤ x ≤ 5 sind also alle 3 Ungleichungen gleichzeitig erfüllt.