Finden Sie alle x, y ∈ R (reelle Zahlen), so dass die folgenden beiden Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:

Question

Aufgabe: Finden Sie alle x, y ∈ R (reelle Zahlen), so dass die folgenden beiden Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:

Gleichung 1: −1 = |x − y| − |x| x
Gleichung 2: 1 = |2x − y| − |2x − 1| + |x − y| + y

Problem/Ansatz:

ich habe Schwierigkeiten den richtigen Ansatz zu finden und bin mir nicht sicher, welche mathematischen Regeln für Beträge gelten.

Mein Ansatz stand jetzt wäre zum Beispiel das Additionsverfahren anzuwenden, oder die Gleichungen gleichzusetzen und möglichst in eine einfachere Form zu bringen und dann Fallunterscheidungen zu machen. Fall 1: x = oder > 0 und Fall 2: x < 0.

Wäre dieser Ansatz richtig und gäbe es da noch eine deutlich effizientere Methode?

Ist eine Fallunterscheidung überhaupt hilfreich, wenn 2 unbekannten im Betrag sind? Für Fall 1 bekomme ich das Ergebnis x = y Beispielsweise.

Gibt es ansonsten Möglichkeiten die Beträge irgendwie zusammenzufassen oder umzuformen, auch wenn nur + und - Zeichen in der Gleichung sind? Würde zum Beispiel |x − y| = |x| - |y| funktionieren (auch als generelle Frage)?

oder |2x − y| − |2x − 1| = |y − 1| funktionieren?

Vielen Dank schonmal im Voraus für die Hilfe!

Answer 1

Würde zum Beispiel |x − y| = |x| - |y| funktionieren?

Dass das nicht funktioniert, zeigt das Beispiel x = - 2, y = 2.

Für das Auflösen der Beträge musst du bei |x-y| unterscheiden zwischen x≥y und x<y.

Bei |2x − y| musst du unterscheiden zwischen 2x≥y und 2x<y.

Bei |2x − 1| musst du unterscheiden zwischen 2x≥1 und 2x<1.

Diese Fälle sind auch noch miteinander zu kombinieren.

Vorsicht! Aus x>y folgt nicht zwingend auch 2x>y, denn es ist zwar beispielsweise -1,5>-2, aber 2·(-1,5)<-2

Nachtrag: Hast du Gleichung 1 richtig aufgeschrieben?

Gleichung 1: −1 = |x − y| − |x| x

Comments

Nein, die Gleichung sollte 1: -1 = |x-y| - |x| / x .

Vermutlich muss ich also noch |x| zwischen x < 0 und x > 0 unterscheiden?

Vielen Dank für die Antwort!

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die Gleichung sollte 1:  -1 = |x-y| - |x| / x

vereinfacht gibt das \(y=x\space\{0\lt x\}\)

.. es sei denn, Dir ist die Punkt- vor Strich-Regel (Division vor Subtraktion) nicht bekannt !?